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Paleolithic

APPLICAZIONE FUZZY-LOGIC ANALISI NELL’ESPLORAZIONE DELLO SCHEMATICO

Nello studio dell’arte rupestre esistono dei simboli schematici indicati come coppelle che la loro sintesi, combinazione e distribuzione può produrre configurazioni complesse. Pertanto si è pensato all’applicazione di un approccio interdisciplinare servendosi dell’analisi probabilistica e del trattamento delle informazioni estrapolate, mediante tecniche di pattern analysis. Il problema dell’analisi e della classificazione delle distribuzioni spaziali all’interno delle configurazioni di coppelle è molto adatto ad essere risolto efficientemente mediante reti neurali. Il metodo descritto è stato codificato nel programma COPNET, un sistema neuro-fuzzy basato sull’implementa del concetto fuzzy-neurone di Hayashi del primo tipo e dell’idea di Gas Neurale che consiste nel considerare le coppelle come facenti parte di una configurazione come particelle di un gas in equilibrio termodinamico.

En el estudio del Arte Rupestre existen simbolos esquematicos denominados “cupmarks” que su sintesis, combinacion y distribucion puede producir configuraciones complejas. Por esto se ha pensado en la aplicacion de una metodologia intedisciplinaria que se sirva del analisis probabilistico y del tratamiento de la informacion extrapolada, mediante tecnicas de “pattern analysis”. El problema del analisis y de la clasificacion de las distribuciones espaciales en el interior de las configurafiones de “cupmarks”, es muy apropriado para ser resulto eficientemente mediante redes neurales. El metodo descrito ha sido codificato en el programa COPNET, un sistema neuro-fuzzy, basado sobre la implemetacion del concepto fuzzy-neurona de Hayashi, de primer tipo y de la idea de Gas Neural, che consiste en considerar “Cupmarks” pertenecientes a una configuracion, como particulas de un gas en equilibrio termodinamico.

INTRODUZIONE
Nello studio dell’arte rupestre esistono dei simboli che non sono stati ancora del tutto decifrati e compresi nella loro totalità funzionale in quanto talmente semplici che possono resistere ad ogni tentativo di interpretazione e nello stesso momento la loro sintesi e combinazione può produrre configurazioni molto complesse. Tra questi segni vanno annoverate le coppelle in quanto la loro distribuzione spazio-temporale è talmente estesa che accompagna tutto l’arco dell’attività umana fino dalle origini al medioevo.

Finora sono state avanzate svariate ipotesi e teorie nel tentativo di spiegare il significato delle coppelle, ma nessuna di esse e’ stata in grado di produrre risultati soddisfacenti. In questa sede si propone una metodologia precisa ed oggettiva che a nostro avviso potrebbe essere capace di interpretare il simbolo e le sue svariate configurazioni in modo “globale”. La completa mancanza di notizie documentate direttamente da fonti scritte ovviamente e’ sempre stata di grande ostacolo alla comprensione delle configurazioni di coppelle che si rilevano sulle rocce, pertanto si e’ pensato all’applicazione di un approccio interdisciplinare, servendosi delle reti neuronali artificiali, in modo da mettere in evidenza le peculiarità del simbolo e delle configurazione in cui esso appare.

La motivazione per cui e’ stato fatto ricorso a tecniche neuronali artificiali risiede nel fatto che le configurazioni proprie dell’arte schematica rupestre sono state prodotte come trasposizione sulla pietra del risultato di un elaborato della mente umana, pertanto un paradigma matematico che per sua natura ha come obbiettivo la simulazione del modo di elaborare l’informazione da parte della corteccia cerebrale degli esseri viventi, potrebbe risultare il piu’ appropriato ai fini della comprensione delle configurazioni.

Per capire meglio di cosa si tratta sono necessarie alcune puntualizzazioni:

a) Le coppelle sono rilevabili sulla superficie di massi e sulle rocce, dunque sono assimilabili ad elementi appartenenti a configurazioni bidimensionali mentre la tridimensionalità rappresentata dalla profondità dell’incavo ci serve solo per una possibile catalogazione su scala temporale.

b) La loro disposizione, a prima vista. sembra del tutto casuale e caotica, ma nella maggior dei casi presenta sviluppi e concentrazioni lungo direzioni che possono essere geometricamente rilevabili e talvolta anche astronomicamente significative.

Il presente approccio al problema interpretativo considera la superficie del masso o della roccia come un sistema stabile che codifica una certa quantità di informazione che ha raggiunto la sua totalità espressiva e la sua stabilità sotto una struttura geometrica. Il quadro generale presenta nell’apparente disordine, una quantità d’informazione che rimane pressoché invariata nello stesso contesto locale. Questo ci suggerisce di catalogare i massi coppellati in grandi famiglie a secondo della tipologia della struttura e dalla sua organizzazione materializzata quantitativamente dal livello di entropia misurabile nelle configurazioni presenti su di essi.

Per fare questo ci si servirà dall’analisi probabilistica e del trattamento delle informazioni estrapolate, mediante tecniche di pattern analysis. Pensiamo dunque che la coppella abbia accompagnato l’evoluzione umana inglobando nella sua struttura circolare la storia come evento ovvero come successione di eventi che si dispongono secondo delle associazioni e delle composizioni. Con l’aumento della complessità del sistema sia dal punto di vista strutturale che funzionale, risultato di una disorganizzazione solo apparente, si passa a un sistema di vari livelli con un rumore di fondo (ridondanza) dei moduli più ridotto.
Lo scopo di questo lavoro e” quindi quello di mettere a punto una metodologia oggettiva basata su solide basi matematiche e statistiche capace di classificare in maniera del tutto automatica e affidabile le configurazioni rilevate, fornendo anche una misura della quantità di informazione in esse codificata.

INFORMAZIONE CODIFICATA IN UNA CONFIGURAZIONE
Il problema di misurare quanta informazione sia contenuta in una configurazione di coppelle e” di non facile soluzione. Dal punto di vista matematico e formale dobbiamo definire un sistema di riferimento sul terreno costituito da due assi ortogonali arbitrariamente orientati (le direzioni Nord e Est geografico vanno benissimo) e identificare ciascuna coppella con le coordinate ortogonali del suo baricentro (o centroide).

In questo modo avremo a disposizione, per N coppelle, N coppie di coordinate ortogonali Xm, Ym, con (m=1,…,N), ognuna delle quali identifica la posizione di una coppella rispetto ad un sistema di riferimento dato. La quantità di informazione mediamente codificata nella configurazione e” misurabile calcolando l”Entropia assoluta, indicata con H, della configurazione nel suo complesso. Per fare questo sarà necessario calcolare il centroide C della configurazione il quale corrisponderà ad un punto di coordinate Xo, Yo riferite al sistema di coordinate ortogonali di riferimento.

Le coordinate ortogonali del centroide C coincideranno quindi con i valori medi delle coordinate Xm e Ym considerate separatamente. Il passo successivo sarà quello di calcolare la distanza euclidea di tutte le coppelle dal baricentro, o centroide, della configurazione. La media di tutte le distanze euclidee dovra” essere nulla (per definizione di centroide), ma la sua varianza var(d), calcolata come la media dei quadrati delle distanze sarà tanto piu” elevata quanto piu” le coppelle saranno disperse rispetto alla posizione del centroide dell”intera configurazione.

La varianza è in qualche modo una misura del contenuto di energia interna globale della configurazione cosi” come si presenta. Le distanze saranno distribuite secondo una determinata funzione Densità di Probabilità. L”entropia complessiva della distribuzione spaziale delle coppelle sara” quindi valutabile sulla base della funzione densità di probabilità che caratterizza la distribuzione delle loro distanze dal baricentro della configurazione. Assumendo che la roccia contenga un numero sufficientemente elevato di coppelle e” possibile assumere a priori che la funzione densità di probabilità si avvicini sufficientemente ad una distribuzione Normale (Gaussiana) con media zero e varianza pari a quella misurata sperimentalmente.

In questo caso la teoria diviene notevolmente semplificata ed e” possibile esprimere analiticamente l”entropia H dell”intera configurazione, in funzione della varianza delle distanze, nel modo seguente (Haykin, 1994):

H = 0.5 ( 1 + ln( 2π var(d) ) ) (1)

Nei casi in cui il numero di coppelle sia relativamente basso, diciamo inferiore a 10, allora e” più appropriato assumere che la funzione densità di probabilità si avvicini alla distribuzione uniforme anziché” a quella normale.
In questo caso l”entropia potrà essere valutata mediante la seguente relazione analitica (Proakis, 1988):

H = 0.5 ( 1 + ln( 12 var(d) ) ) (1a)

Osserviamo che nel caso della distribuzione Uniforme, l”entropia risultante e” un poco maggiore rispetto a quella derivante dall”aver assunto, per le coppelle, una distribuzione Gaussiana. Questo deriva dal fatto che la distribuzione Uniforme richiede meno Prerequisiti rispetto a quella Normale.

L”entropia assoluta e”, come detto in precedenza, il contenuto medio di informazione codificata nella configurazione delle coppelle all”interno della configurazione considerata. Ciò significa che H e” la somma pesata delle autoinformazioni Im, cioe” di ciascuna quantità di informazione associata al verificarsi dell”evento relativo al fatto che una determinata coppella occupi proprio il posto osservato entro la mappa complessiva della configurazione.
La funzione peso e”, in questo caso, la probabilità, qui indicata con Pm che la coppella occupi proprio il luogo osservato. Abbiamo qui introdotto una nuova quantità che e” stata denominata Autoinformazione.

Indichiamo questa quantità, misurata per ogni singola coppella presente nella configurazione, con Im e l”indice m si riferisce alla coppella considerata tra quelle presenti nella configurazione. Chiariamo un poco la questione.
Data un coppella facente parte della configurazione in esame, il solo fatto che essa sia posizionata ad una certa distanza euclidea dal centroide della configurazione implica che questo evento racchiude in se una certa quantità di informazione che discende dal fatto che chi la posiziono” in quel luogo lo fece o casualmente oppure tenendo presenti alcuni criteri, a noi ovviamente oggi completamente sconosciuti. Siccome Im e” l”informazione corrispondente all”evento: ”coppella posizionata ad una distanza dm dal baricentro della configurazione”, essa viene denominata autoinformazione (self-information) associata a quell”evento.

La Teoria dell”Informazione ci dice che l”autoinformazione associata ad un dato evento e” legata in maniera semplice alla probabilita” che tale evento si verifichi effettivamente.

Tale legame si concretizza nella seguente equazione:

Im = -ln(Pm) (2)
(m=1,…,N)

la quale mette in evidenza che un evento casuale che ha probabilità pari a 1 (=100%) di verificarsi; quindi e” un evento sicuro, avrà autoinformazione nulla in quanto la sicurezza che esso accada non richiede il verificarsi di particolari condizioni affinché esso avvenga.
Esso semplicemente accadra” sempre e in ogni caso, per cui non
esisteranno particolari ragioni per meravigliarci se accade e quindi
di cercare il motivo per cui l”evento si verifica.

Al contrario, un evento di probabilità bassa richiede che siano
verificati contemporaneamente tutta una serie di fattori che concorrono
al verificarsi dell”evento, altrimenti esso non si verifica affatto.
E” chiaro che il verificarsi di un evento poco probabile racchiude dentro
di se un’alta quantità di informazione relativamente alle cause che
hanno concorso a produrre quell”evento.

Spingendoci al caso estremo: un evento che ha probabilità quasi nulla
di verificarsi, se si verifica, racchiude in se una quantità di
informazione molto elevata, per cui la sua autoinformazione tenderà
all”infinito, con il tendere a zero della probabilità.
Tornando al caso delle coppelle che fanno parte di una configurazione,
sara” possibile associare a ciascuna di esse un valore di autoinformazione dipendente dalla sua distanza dal baricentro (o centroide) e quindi sara” possibile calcolare la probabilita”, per ciascuna coppella, che chi la incise volesse proprio posizionala a quella distanza dal baricentro della configurazione, cioe” in quella precisa posizione rispetto a tutte le altre coppelle facenti parte di essa.

Tale probabilita” si ottiene invertendo l”autoinformazione individuale
nel modo seguente:

Pm = exp(-Im) (3)
(m=1,…,N)

Dal punto di vista pratico non e” possibile calcolare ciascuna probabilita”
individuale, cioe” per ogni coppella, ma e” possibile solamente ottenere la
valutazione complessiva di una funzione di disordine della configurazione,
cioe” l”Entropia.
In questo caso potremo approssimare l”Entropia assoluta H con l”Entropia
differenziale h di tutta la configurazione (Haykin, 1994) ottenendo:

H ~ h = -[ P1 ln(P1) + P2 ln(P2) + ... + Pm ln(Pm)]

in questo modo avremo a disposizione un mezzo per determinare
sperimentalmente l’Entropia di una configurazione formata da un
certo numero di coppelle presenti su una roccia.

CASUALITA” E CORRELAZIONE
La posizione di ciascuna coppella all”interno della configurazione e”
descrivibile univocamente, rispetto ad un sistema di riferimento
arbitrario, mediante una coppia di coordinate ortogonali Xm, Ym.
Allora potremo fare alcune osservazioni.
La prima e” che se la disposizione delle coppelle fu in origine ottenuta
secondo particolari criteri nella scelta della posizione sulla roccia,
allora dovremmo rilevare una distribuzione casuale di esse su tutta l”area occupata della configurazione.
In questo caso non esistera” alcuna correlazione tra le coppie di
coordinate Xm e Ym che caratterizzano ciascun elemento.

La configurazione delle coppelle sara” quindi evidentemente casuale.
Se invece le coppelle si dispongono in modo da privilegiare almeno a
grandi linee qualche direzione particolare allora esistera” una correlazione piu” o meno stretta tra le coppie di coordinate dei vari elementi.
La correlazione tra Xm e Ym puo” essere sperimentalmente misurata
ottenendo il cosiddetto coefficiente di correlazione lineare, indicato con r, il cui quadrato e” detto coefficente di determinazione il quale puo” essere calcolato in funzione della covarianza tra Xm e Ym e delle varianze individuali di Xm e Ym.

Questo equivale a descrivere la distribuzione spaziale delle coppelle
entro una configurazione mediante una funzione densita” di probabilita”
congiunta la quale sara” approssimata da una distribuzione normale
bivariata.
Il fatto che una configurazione sia caratterizzata da una possibile
diposizione ordinata delle coppelle non ci assicura automaticamente che
tale fosse anche nelle intenzioni di coloro che anticamente le incisero.
Ad esempio e’ possibile infatti che rilevando solamente un sottoinsieme
delle coppelle che in origine costituivano la configurazione si arrivi a
misurare un grado di correlazione relativamente elevato anche se in
origine la distribuzione spaziale complessiva delle coppelle fu del tutto
casuale.
Supponendo di misurare un coefficiente di correlazione significativamente elevato, dobbiamo calcolare la probabilita” che il valore ottenuto sia vero.

Infatti e” talvolta possibile che dalla disposizione casuale di N punti si
venga a formare casualmente una distribuzione abbastanza ordinata e quindi il coefficiente di correlazione misurato sia significativamente diverso da zero.

La probabilita” che cio” avvenga dipende dal numero dei punti e dal grado
di correlazione che puo” verificarsi.
Dato un certo valore R per il coefficiente di correlazione osservato, la
probabilita” P(R,r) che N punti si dispongano casualmente in modo da far
si che possa essere misurato un valore |r| uguale o maggiore di R, e”
possibile solo mediante integrazione numerica di una funzione integrale
molto complessa (Taylor, 1986,1998).

Appare quindi evidente che se una distribuzione spaziale di coppelle
mostra un certo coefficiente di correlazione misurato R, la probabilita”
che tale valore sia simulato da una distribuzione casuale vale P(R,r),
quindi la probabilita” che la distribuzione spaziale NON sia casuale sara”
data dal suo valore complementare: 1-P(R,r).

In questo modo data una distribuzione spaziale di coppelle all”interno di
una configurazione, noi siamo in grado di valutare la probabilita” che tale
distribuzione derivi da un artifatto casuale e non da una deliberata scelta
di chi decise la posizione dei singoli elementi della configurazione.

LA MUTUA INFORMAZIONE
Dalla Teoria dell”Informazione otteniamo che la Mutua Informazione
I(X,Y) relativa alla configurazione formata dalla disposizione complessiva
delle coppelle nella configurazione e” legata al coefficiente di correlazione
in maniera tecnicamente molto semplice.

La mutua informazione puo” essere vista come la quantita” di informazione associata all”osservazione di una determinata distribuzione spaziale delle coppelle all”interno della configurazione.
In questo caso la mutua informazione si riferisce non ad una sola coppella, ma a tutto l”insieme delle coppelle comprese nella configurazione quindi ci fornira’ importanti informazioni sulla struttura globale di essa.
La mutua informazione non e” altro che una generalizzazione del concetto di autoinformazione gia” introdotto in precedenza, quindi ne conservera” tutte le proprieta” matematiche.

Questo fatto ci conduce a poter calcolare la probabilita” che la
distribuzione spaziale delle coppelle attualmente rilevata per una
configurazione si potesse effettivamente verificare quando essa fu prodotta.

Questo ci suggerisce alcune considerazioni degne di nota.
Infatti se la disposizione delle coppelle e” pressoche” casuale allora il
valore assoluto del coefficiente di correlazione risultera’ piuttosto basso e
la mutua informazione pressoche” nulla.

Questo conduce ad avere una alta probabilita” che quella distribuzione
spaziale potesse essere spontaneamente ottenuta, nel corso degli anni, da coloro che incisero le coppelle facenti parte della configurazione in quanto essi non ritennero opportuno prendere in considerazione alcun criterio teso a disporne ordinatamente gli elementi.
Se contrariamente a cio” la correlazione risulta elevata, come conseguenza di uno sviluppo ordinato della configurazione, allora sara”
possibile osservare una disposizione tesa a privilegiare la distribuzione
spaziale delle coppelle lungo particolari direttrici sulla roccia; e” il
caso ad esempio delle coppelle che accompagnano il petroglifo noto come ”Rosa Camuna”.

In questo caso la mutua informazione sara” elevata in quanto una
disposizione ordinata implica l”esistenza in origine di un criterio
applicato, che si traduce matematicamente nella codifica di una certa
quantita” di informazione nella distribuzione spaziale delle coppelle
ottenuta applicando quel particolare criterio.

Un valore elevato di mutua informazione implica una bassa probabilita” che una disposizione cosi” ordinata avesse potuto essere messa in pratica.
La probabilita” dell”evento complementare, cioe” quello della deliberata
disposizione ordinata delle coppelle da parte dell”individuo che le incise
nel caso di una distribuzione spaziale ordinata, essa sara” elevata.

Osserviamo un fatto interessante e cioe” che per avere la probabilita”
del 50% di orientazione non casuale, il pattern pseudolineare di coppelle deve mostrare un coefficente di cross-correlazione pari almeno a 0.87.
La conclusione e” che solamente una distribuzione che mostra una rilevante correlazione (|r|>87%) ha almeno il 50% di probabilita” di non derivare da una disposizione casuale delle singole coppelle.

Solo in questo caso potra” essere ipotizzata una eventuale correlazione, ad esempio, con qualche direzione astronomicamente significativa.

LA DETERMINAZIONE DELL”ORIENTAZIONE DI UNA CONFIGURAZIONE PSEUDOLINEARE
Qualora le analisi abbiano rivelato che esiste un consistente valore
del coefficente di correlazione a supporto del fatto che le coppelle
siano distribuite in modo da disporsi ordinatamente e in maniera
pressoche” lineare lungo una direzione, e” possibile stimare l”azimut
Az della direzione rispetto al sistema di assi cartesiani di riferimento.

Infatti noto r e la due varianze var(X) e var(Y) si perviene facilmente
ad ottenere l”azimut Az in funzione del coefficiente di correlazione e
dalle varianze delle distribuzioni marginali dei dati.

Le distribuzioni marginali sono caratterizzate, ciascuna dalla loro entropia
differenziale di Shannon, rispettivamente h(x) e h(y) normalizzate in modo da avere entropia nulla quando la varianza e” unitaria.

La distribuzione congiunta sara” caratterizzata della sua cross entropy
h(xy) di conseguenza l”azimut Az puo” essere calcolato anche in funzione di due delle tre entropie.
Questo risultato e” dovuto al fatto che le entropie differenziali contengono
l”informazione completa relativamente alla distribuzione spaziale delle
coppelle che fanno parte della configurazione.

Questo metodo permette di determinare l”azimut di orientazione che soddisfa il criterio dei minimi quadrati, cioe” che minimizza la somma dei quadrati dei residui tra i punti che simboleggiano le coppelle e i punti
corrispondenti sulla retta che approssima la direzione di orientazione
dell”intera configurazione.

Questa procedura, seppur formalmente ineccepibile, e” caratterizzata dal
difetto di non essere applicabile in maniera rigorosa all”analisi della
distribuzione spaziale delle coppelle all”interno di una configurazione in
quanto esse sono identificate da coppie di coordinate sperimentalmente
misurate che possiamo ritenere entrambe affette da deviazioni casuali rispetto alle coordinate previste dall”orientazione teorica.

Il metodo descritto presuppone che solo le coordinate Ym siano devianti
rispetto a quelle previste dalla direzione teorica, mentre le Xm siano
”esatte”.
Attenzione! abbiamo parlato di deviazioni, non di errori, in quanto gli
scarti rispetto alla linea che identifica la direzione di orientazione
possono non essere accidentali, ma rappresentare invece precise
caratteristiche proprie della struttura interna della configurazione in
esame.

E” necessario quindi che l”algoritmo di calcolo dell”azimut di orientazione
tenga conto delle deviazioni in entrambe le direzioni, X e Y allo stesso
modo.
Vediamo allora come e” posssibile risolvere questo problema.
Per prima cosa definiamo la funzione matematica che rappresenta la nozione di ”allineamento orientato”.
Essa sara” l”equazione della retta generica in coordinate polari:

X sin(Az) – Y cos(Az) + Ro = 0 (4)

in cui ”Az” e” l”azimut dell”allineamento rispetto al sistema di assi
cartesiani di riferimento e ”Ro” e” la distanza euclidea della retta
dall”origine del sistema di riferimento.

Ovviamente la posizione delle coppelle sulla roccia identifichera” una
direzione grosso modo rettilinea, ma ciascuna coppella sara” caratterizzata da una deviazione, rispetto al valore teorico previsto dalla retta che identifica l”allineamento.

La retta piu” probabile per descrivere l”allineamento sara” quindi quella
che minimizzera” la somma dei quadrati delle distanze euclidee tra ciascuna coppella rilevata sulla roccia e il corrispondente punto previsto dalla retta approssimante l”allineamento orientato.

Il procedimento descritto in questa sede e” differente dal calcolo della
retta dei Minimi Quadrati nel senso classico, perche’ in questo caso
non viene minimizzata la somma dei quadrati degli scarti in direzione Y,
bensi” i quadrati delle deviazioni in direzione perpendicolare alla retta,
cioe” le distanze euclidee tra le coppelle e la retta approssimante.

La soluzione del nostro problema richiede che si determini il valore
ottimale dell”azimut di orientazione Az e, ma meno importante, il
coefficente Ro.
I valori ottimali dei due parametri saranno quelli che minimizzeranno una
conveniente funzione ”Chi Quadrato” da cui e’ possibile ricavare
analiticamente le espressioni in forma chiusa per il calcolo dei parametri
cercati.

INTERPRETAZIONE DELLE CONFIGURAZIONI DI COPPELLE MEDIANTE TECNICHE DI FUZZY LOGIC.

ACCURATEZZA E PRECISIONE
Iniziamo definendo i concetti di accuratezza e di precisione che sono di
fondamentale importanza nel prosieguo del presente lavoro.
Si definisce precisione il grado di addensamento di una serie di misure
sperimentali intorno al valore medio della popolazione statistica da esse
rappresentata.
Nel caso presente la precisione e” legata alla distribuzione spaziale delle
coppelle e al grado di entropia propria della loro configurazione.
L” accuratezza e” invece il grado di approssimazione della media della
popolazione statistica rispetto al valore vero della grandezza stimata
mediante ripetute misure.
Nel presente caso l”accuratezza sara” rappresentata da quanto l”azimut
astronomico della direzione media di sviluppo della configurazione
approssima l”azimut astronomico della direzione che la distribuzione delle
coppelle aveva il compito di codificare quando fu tracciata sulla roccia.

Minimo inviluppo rettangolare

In prima approssimazione potremmo abbiamo definito l”azimut astronomico
della direzione presumibilmente codificata dalla linea di coppelle calcolando
la retta dei minimi quadrati, o quella che minimizza
qualcha altra conveniente funzione d”errore, del tipo:

Y = X tan(90-A*) + Co (5)

dove X,Y sono le coordinate del centro di ciascuna coppella rispetto ad un
sistema di assi coordinati in cui Y sia diretto positivamente a nord lungo
la linea meridiana e X positivo coincida con la direzione orientale della
linea equinoziale, A* e” l”azimut astronomico e Co e” una costante.
Il metodo potrebbe essere formalmente corretto, ma poiche” il numero di
coppelle generalmente presenti lungo una linea e” basso, abbiamo problemi
nella scelta della funzione densita” di probabilita” dalla quale derivare il
criterio di ottimizzazione piu” adatto per calcolare i parametri della (5).
Un secondo problema deriva dal fatto che il centro geometrico di ciascuna
coppella non e” detto sia una buona stima della posizione originale della
coppella sulla roccia.
Appare allora naturale che le usuali tecniche statistiche sono tendenzialmente
destinate a fornire risultati di scarsa attendibilita’ qualora i pattern di coppelle
studiati siano composti da pochi elementi.
Un caso eclatante e’ la stima dell’effettivo valore dell’errore con cui un numero
ridotto di coppelle si dispone lungo una direttrice pesudo lineare approssimandola
secondo qualche criterio statistico sconosciuto a priori.
In questa sfavorevole situazione le tecniche Fuzzy, che sostituiscono la nozione
di Funzione di appartenenza ad un insieme fuzzy a quella di distribuzione
statistica ci permettono di trattare anche quei problemi in cui l’incertezza inerente
e’ molto alta.

Uno di questi problemi e’ proprio quello dell’interpretazione dei pattern di coppelle
orientati secondo talune direzioni identificate univocamente dal loro azimut
astronomico misurato in senso orario partendo dalla direzione settentrionale del
meridiano astronomico locale, rilevabili sulle rocce.
Un valore approssimato dell’angolo di azimut astronomico e’ comunque
stimabile eseguendo alcune misurazioni di direzione mediante il teodolite o
la bussola topografica con successiva calibrazione della direzione di
riferimento mediante una linea di base ottenuta con grande accuratezza
mediante rilevamento stellitare (GPS o GPS+GLONASS).
L”azimut astronomico cosi” ottenuto rimane sempre affetto da un”accuratezza
relativamente scarsa anche se il grado di precisione potrebbe essere molto
elevato, a causa di possibili deviazioni sistematiche che potrebbero
derivare dal fatto che la configurazione delle coppelle e” generalmente di
lunghezza limitata (meno di 1 metro) e che la direzione e” spesso marcata
sulla roccia utilizzando un filo che approssimando l”andamento delle
coppelle cerca di realizzare in qualche modo e secondo una valutazione
visuale ed empirica, l”equazione (5).
L”errore della direzione del filo rispetto a quella vera che aveva in
origine l”obbiettivo di determinare una ristretta zona di orizzonte, per
qualche verso interessante puo” essere stimato determinandone il suo limite
superiore costruendo l”inviluppo rettangolare che pur essendo capace di
racchiudere al suo interno tutte le coppelle che fanno parte della
configurazione, possiede la minima area possibile.
Il minimo inviluppo rettangolare e’ un insieme fuzzy e le coppelle che si
posizionano al suo interno lo fanno secondo i criteri stabiliti da da una
ben determinata funzione di appartenenza all’insieme fuzzy.
I lati del rettangolo saranno quindi A (lato lungo) e B (lato corto).
Uno dei due assi dell”inviluppo rettangolare minimo sara” quindi la
direzione di orientazione della configurazione.
Appare evidente a questo punto lo stretto legame concettuale tra il minimo
inviluppo rettangolare e il grado di fuzziness dell”allineamento definito
dalla linea di coppelle.

Accuratezza Stimata

L”accuratezza empirica stimata per l”orientazione della configurazione delle
coppelle dipendera” strettamente dal rapporto B/A secondo la seguente
relazione rigorosa:

e(A*) = atan(B/A) (6)

e se tale rapporto risulta minore o uguale ad 1/3, cosa che avviene
praticamente nelle totalita” delle configurazioni orientate, e” facile
ottenere una valutazione approssimata dell”accuratezza (in gradi):

e(A*) ~ 57.3 (B/A + …) (7)

Il valore e(A*) rappresenta solamente una valutazione empirica
dell”accuratezza con cui l”azimut misurato potrebbe approssimare il vero
valore derivante dall”orientazione teorica della configurazione in fase di
realizzazione, nei tempi antichi ed in nessun caso deve essere inteso come
l”approssimazione raggiunta da chi incise le coppelle sulla pietra.
Di fatto e(A*) rappresenta bene il grado di fuzziness che caratterizza
l”allineamento della fila di coppelle e questo parametro rappresenta un
elemento importante ai fini della valutazione del grado di accuratezza
dell”azimut astronomico pertinente alla linea di coppelle.
Se e’ vero che il grado di fuzziness e’ ben rappresentato da una funzione
del rapporto B/A e’ altrettanto vero che in un’ottica di tipo fuzzy l’energia
della configurazione pseudolineare e’ proporzionale al prodotto AB cioe’
alla misura dell’insieme che e’ determinata dall’area del minimo inviluppo
rettangolare.
Allo stesso modo la Fuzzy-Entropia dell’insieme approssimera’ secondo un
criterio fuzzy l’entropia della configurazione formata dalle coppelle che saranno
incluse nel minimo inviluppo rettangolare e quindi anche l’accuratezza e(A*)
sara’ una funzione della Fuzzy-Entropia della configurazione e quindi dipendera’
dal grado di ordine che regenera’ nella configurazione delle coppelle.

Accuratezza e probabilita”

Per tentare una valutazione della possibile accuratezza raggiunta dagli
autori della linea di coppelle bisogna ragionare in termini probabilistici
tentando di dare una risposta alla seguente domanda.

”Qual”e” la probabilita” che la configurazione delle coppelle indichi
casualmente una direzione sbagliata di una quantita” Q rispetto all”azimut
vero Ao qualora la valutazione dell”accuratezza empirica stimata sia e(A*)”

Tentiamo di dare una ragionevole risposta a questa domanda.

L”andamento della variabile casuale che approssima la distribuzione delle
N(N-1) possibili direzioni ottenute congiungendo a 2 a 2 le N coppelle della
configurazione puo” essere descritta da una distribuzione di Weibull con
fattore di forma pari a 2, cioe” una distribuzione di Rayleigh, quindi la
probabilita” che la ”linea” di coppelle indichi casualmente una direzione
con azimut diverso da quello vero di una differenza pari a Q, vale:

2
-(Q/e(A*))
P(.) = 1 – e (8)

da cui si deduce che la deviazione Q rimarra” entro l”accuratezza e(A*)
solamente con un livello di probabilita” pari al 63%, ma desiderando una
stima maggiormente sicura del grado di accuratezza raggiunto dai costruttori
della linea di coppelle dovremo selezionare valori di Q tali da raggiungre
un grado di probabilita” piu” elevato, quindi Q potrebbe risultare
sensibilmente maggiore di e(A*).

Significativita” e Probabilita”

Prendiamo ora in esame la linea di coppelle la cui fuzziness R sia stata
valutata mediante il metodo del minimo inviluppo rettangolare.
Sara” quindi (in maniera rigorosa):

R = atan(B/A) (9)

in entrambe le direzioni.

Di fatto R rappresenta l”ampiezza del settore di orizzonte in cui il fascio
di N(N-1) direzioni individuate dalle N coppelle che compongono la linea, e”
orientato.
Definendo ”p” la probabilita” che un allineamento definito da una qualsiasi
combinazione delle coppelle che compongono la linea individui casualmente
una ben precisa direzione astronomicamente significativa, con un grado di
fuzziness pari a R (in gradi), potremo scrivere:

p = R/360 (10)

Appare evidente che nel caso le coppelle siano distribuite in maniera
completamente disordinata, il minimo inviluppo rettangolare tendera” alla
forma quadrata con A=B, quindi la configurazione sara” casualmente
allineata con il 25% di probabilita” verso uno qualsiasi dei quattro settori
in cui possiamo dividere il cerchio dell”orizzonte astronomico locale; di
fatto non sara” allineata da nessuna parte.
Al contrario se una linea di coppelle risultera” ben allineata, il rapporto
B/A sara” piccolo quindi la probabilita” che la direzione individuata dalla
linea sia stata raggiunta casualmente sara” molto ridotta e sara” possibile
approssimarla mediante la semplice formula:

p ~ 0.16 (B/A + …) (11)

Facciamo un esempio.
La rosa di Carpene a Sellero in Valcamonica e” formata da due linee di 5
coppelle ciascuna allineate lungo la direzione Nord-Sud ed Est-Ovest.
La linea nord-sud e” racchiudibile in un inviluppo rettangolare minimo pari
con dimensioni A=60 cm e B=5 cm.
Il rapporto B/A vale 0.083 che conduce ad una ”fuzziness” pari a 4.8 gradi;
tale quindi sara” l”ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo
trovare il bersaglio dell”allineamento materializzato dalla linea di
coppelle diretta approssimativamente lungo la linea meridiana.
La probabilita” che la linea di coppelle abbia casualmente individuato quel
ben preciso settore di orizzonte vale p=0.

013, quindi poco piu” dell”1%.
La linea est-ovest e” meglio allineata essendo racchiudibile in un inviluppo
rettangolare minimo pari con dimensioni A=58.5 cm e B=3.5 cm.
Il rapporto B/A vale 0.0598 che implica ad una ”fuzziness” pari a 3.5 gradi;
tale quindi sara” l”ampiezza del settore di orizzonte entro cui potremmo
trovare il bersaglio dell”allineamento materializzato dalla linea di
coppelle diretta rozzamente lungo la linea equinoziale.
La probabilita” che la linea di coppelle est-ovest abbia casualmente
individuato quel ben preciso settore di orizzonte vale p=0.009, quindi poco
meno dell”1%.
Analisi globale
Prendiamo ora in esame il caso in cui la configurazione presente sulla
roccia preveda piu” di una linea di coppelle; nel caso della Rosa di Carpene
abbiamo M=2 linee che si incrociano e che sono orientate circa
ortogonalmente l”una rispetto all”altra.
Facciamo dapprima l”ipotesi che le due linee siano indipendenti tra di loro
quindi la probabilita” che entrambe le linee, nord-sud ed est-ovest, siano
casualmente allineate verso i rispettivi settori di orizzonte e” il prodotto
delle due probabilita” individuali, cioe”:

P = p1  p2 (12)

che numericamente porta al valore P=0.00012 cioe” allo 0.12%.
Esiste pero” il fatto che le due linee hanno in comune una coppella, quella
centrale e che esiste l”incisione curvilinea che stabilisce il profilo della
Rosa Camuna, fatti che ci indicano chiaramente che le due linee di coppelle
non potevano assumere direzioni indipendenti tra loro, ma dovevano mantenere
obbligatoriamente una configurazione a croce in modo da poter rappresentare
la figura nota come Rosa.
In questo caso il calcolo della probabilita” che una figura quale quella
della Rosa di Carpene possa essere orientata come la rileviamo, assumendo
un grado di ”fuzziness” pari a 4 gradi, solamente a causa di una
combinazione di fattori casuali e” valutabile mediante la relazione:

P(random) = 0.0028 R S (13)

in cui S rappresenta il numero di simmetrie della configurazione.
Nel caso della Rosa abbiamo R~4 gradi, mentre essendo una croce a 4 bracci,
S=4.
Il calcolo ci fornira” 1 probabilita” su 22.5, cioe” pari al 4.4%, che il
petroglifo cosi” come e” stato rilevato sia posto casualmente con quella
orientazione.

Applicazione delle Reti Neuronali Artificiali al problema
della classificazione delle le configurazioni di coppelle.

Il problema dell”analisi e della classificazione delle distribuzioni
spaziali all”interno delle configurazione di coppelle e” molto adatto ad essere
risolto efficentemente mediante reti neuronali artificiali.
Il metodo descritto e’ stato codificato nel programma COPNET, un sistema
neuro-fuzzy basato sull”implementazione del concetto di fuzzy-neurone di
Hayashi del primo tipo e dell”idea di Gas Neurale (Martinets et Al, 1998)
che consiste nel considerare le coppelle come facenti parte di una
configurazione come le particelle di un gas in equilibrio termodinamico.
Ovviamente il presente approccio sara’ tanto piu’ efficente quanto saranno
numerose le coppelle che fanno farte della configurazione da analizzare.
La rete neuronale fuzzy COPNET e” composta da tre strati, lo strato di
input e” composto da 2N nodi (non fuzzy), dove N e” il numero di coppelle
che fanno parte della configurazione da analizzare.
Il secondo strato e” composto da 3 fuzzy neuroni i quali calcolano le tre
energie Ex, Ey, Exy che sono rispettivamente le energie delle distribuzioni
marginali X, Y e della distribuzione congiunta XY.
Le energie E delle distribuzioni marginali sono legate in maniera semplice
alle rispettive entropie differenziali scalate.
L”ultimo strato e” composto da 4 fuzzy neuroni i quali calcolano il
coefficente di cross-correlazione r[x|y], la probabilita” Po che il pattern
analizzato sia non-random, la mutua informazione I(x;y) e l”azimut di
orientazione rispetto alla direzione X presa a riferimento.

Sfruttando la flessibilita” delle reti neuronali artificiali, e” possibile
utilizzare la stessa mesostruttura per valutare le tre entropie
differenziali di Shannon H(x), H(y) e H(xy) al posto delle tre energie Ex,
Ey, Exy.
Dalle tre entropie e” poi possibile ottenere nuovamente le quattro funzioni
r[x|y], I(x;y), Po, Az che descrivono completamente la configurazione delle
coppelle.

Struttura delle configurazioni

Come menzionato nell’Introduzione, una volta rilevata la quantità di informazione, mediante il processo sopraelencato, andiamo a verificare geometricamente l’evoluzione strutturale del sistema coppelle. La misurazione delle dimensioni del masso, da cui si ottiene un sistema di coordinate cardinali, entro il quale si ri-posizionano le coppelle conferma la presenza di un’unità base (varia da volta in volta) che permette con facilità la loro esatta colocazione topologica basandosi su criteri geometrici.
Pare che tale unità base nasca come modulo cognitivo (Butterworth, 1999) che organizza in termini di informazione la configurazione schematica. Ri-conoscere e separare all’interno della configurazione, nel ri-posizionare spazialmente un oggetto o un evento, sta ad indicare l’intenzionale attribuzione (Zdenek Salzmann, 1950) di un’idea rudimentale di numerosità.
In fondo il problema di “costruzione” è il problema della “classificazione” dell’oggetto o dell’evento (Davis & Hersh, 1981). Tale modulo ci permette nel ri-costruire topologicamente la configurazione, di concepire i processi differenti, se ci sono stati, nel ri-leggere e ri-identificare il linguaggio che nello spazio-tempo è ormai sconesso (Piazza, 2000). Così anche gli allineamenti trovano la loro spiegazione come parte integrante della composizione; composizione con un ritmo intero, progressivo dove ogni coppella aggiuntiva ri-posiziona l’intera composizione.
Infatti, la maggior parte delle coppelle sono disposte lungo curve (cfr., lulune di Ippocrate, trisettrice di Ippia, ecc.) o creando moduli circolari. Talvolta abbiamo riscontrato la co-presenza di tali moduli in due parti ben distinte della stessa roccia (probabile appartenenza allo stesso periodo storico?) e la loro promiscuità in un sistema singolo forse in un periodo più tardo.

Tabella tipologica dello schematico:

La presente tabella tipologica, è nata dalla catalogazione dei massi coppellati nell’arco alpino secondo uno studio sulla disposizione e la strutturazione geometrica delle incisioni. La possibilità di creare grandi famiglie tipologiche favorisce non solo la comparazione (Dimitriadis, 2000) con altri siti nel continente ma anche con il resto del mondo, segnalando la presenza di una mentalità che ha caratteri universali (Butterworth, 1999).
Del resto la coppella stessa, residuo di “vuotezza”, appare come tale ovunque, come paradossalmente appare identica anche la sua sintesi compositiva che vede svilupparsi entro la stessa area culturale sia il non-figurativo sia il megalitismo.
In Europa abbiamo individuato (per il momento) due grandi archi evolutivi: l’arco Balcanico e l’arco Alpino. Quest’ultimo si divide in due categorie Cat.A e Cat.B, ognuna con la sua peculiarità culturale. La Cat.A comprende sei grandi famiglie secondo la loro geometria strutturale, catalogate come segue:

(vedi fig. 1)

Dr. Adriano Gaspani
Dr. Giorgio Dimitriadis

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